ノート置き場

内積って何ですか？	直交すると０，同じベクトルだと長さの２乗。それは分かるけど、もっとちゃんとした意味はないのでしょうか？　いろいろ考えた失敗作です。
円周の長さと円の面積	円周と直径の長さの比、単位円の面積。どちらも同じπですが、ちゃんと証明できますか？
符号付き体積って？	行列式。ベクトルが張る平行体の符号付き体積を表すそうです。符号付きって気持ち悪い。行列式の絶対値を、絶対値を使わずに定義できないですか？それを使って数学を展開できないでしょうか？
ラプラス変換はべき級数	ラプラス変換がどういう操作なのかを説明するとき、フーリエ変換に喩えられることが多いのですが、関数空間の間の全単射である以上の共通点があるのでしょうか？　全く別の方向性からの解釈を見つけたのでノートにしました。
群は対称性を表す	何らかの数学的な体系があれば、その自己同型全体は群になります。このことを根拠に「群は対称性を表現する概念だ」と言われます。確かに自己同型群は群の公理をみたしますが、逆に全ての群は何らかの対象の自己同型群になるのでしょうか？
化学反応の単純なモデル	高校化学などで習う化学反応は極めて少ない状態のみを考えて、原子の結合がそれらの状態の間を行き来しているモデルを考えています。単純なモデルが良い近似を与える数学的な根拠は何なのでしょうか。簡単なマルコフ連鎖のモデルを考えることで、それっぽい答えを与えられたと思います。
分類としての行列の簡約化	考察対象の“同型”という同値関係に関する代表系を考えることを分類と言いますが、その行為は数学全般にわたる普遍的なテーマだと思います。今現在の数学教育のスタンダードではジョルダンの標準形定理という自己線型写像に関する主張が初めて触れる分類定理であることが多いようです。しかしそれより早く行列の簡約化の一意性は連立一次方程式の分類として、それより早く触れることができる“分類定理”です。そういう視点でもっと注目して欲しい話題と思っています。　建前上準備中。（数学的内容に新奇性は全くないのでノートは作らないかもしれません。）
証明可能性の定義	ユークリッドの時代に議論のスタート地点を定めて、全てをそこから論証するという態度が明確に打ち出されました。そこから時代が下り、非ユークリッド幾何のモデルの発見や５次方程式の代数的解法の非存在の証明など、証明不可能であるという言明自体が証明の対象になりうるということが発見されます。　そして２０世紀になり、ゲーデルによって証明可能性の定義が確立されました。それは完全性定理という、全く数学的な主張により成し遂げられたもので、そこから得られる証明観はそれまでの証明観から一線を画すわけですが、そのことを明確に認識している数学者が現時点でもまだ少数派であろうことはとても残念です。（当分準備中状態継続予定）

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